10.13

2017-01-09

最小分散ヘッジ(the minimum-variance hedge)

グレープフルーツジュース(grapefruit juce)の現物価格(spot price)を G、 オレンジジュース(orange juice)の先物価格(futures price)を O と置く。

β と最小分散ヘッジ(the minimum-variance hedge) h は、次となる。

β = cov(G, O) / var(O)
= σ_GO / σ_O²
= (σ_GO / σ_G / σ_O) (σ_G / σ_O)
= ρ × (0.2 × G) / (0.2 × O)
= 0.7 × 1.50 / 1.20
= 0.875

h = -βW = -0.875 × 150 × 10³ = -131250

最小分散ヘッジ(the minimum-variance hedge)は、 -131250ポンドオレンジジュースである。

最小分散ヘッジの効果

x = G × 150000.

Hence

cov(x, O) = 150000 × σ_GO, σ_x = 150000 × σ_G.

Combining these two,

cov(x, O) = σ_GOσ_x / σ_G.

Using the minimum-variance hedging formula,

var(y) = var(x) - cov(x, O)²/σ²_O
= [1 - (σ_GO / (σ_Gσ_O))²]var(x).

Hence,

stdev(y) = [√(1 - 0.7²)]stdev(x)
= 0.714 × stdev(x).

Hence the minimum-variance hedge reduces risk by a factor of 0.714.

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