11.1

与条件
年次期待成長率 ν = 0.12, ボラティリティ σ = 0.20, 期間長 Δt = 3カ月/12カ月=1/4(年)

Δtを小さいものと仮定すると、式(11.26)により、

p = 1 / 2 + 1 / 2 * (ν / σ ) √ (Δ t)
  = 1 / 2 + 1 / 2 * (0.12 / 0.20) √ (1/4)
  = 0.65

u = eσ√(Δt)
  = e0.20√(1/4)
  = 1.106

d = e-σ√(Δt)
  = e-0.20√(1/4)
  = 0.905

Δtを小さいものと仮定しない場合、式(11.25)により、

p = 1 / 2 + 1 / 2 /√[(σ2 / (ν2 Δt) + 1]
  = 1 / 2 + 1 / 2 /√[(0.202 / (0.122 × 1/4) + 1]
  = 0.64367

u = e√[σ2Δ + (νΔt)2]
u = e√[0.202 × 1/4 + (0.12 × 1/4)2]
  = 1.11005

d = e-√[σ2Δ + (νΔt)2]
d = e-√[0.202 × 1/4 + (0.12 × 1/4)2]
  = 0.90086

一年分の格子を下に示す。(2023-01-09)

Su^kd^n-kをとる確率(和訳テキストp.395、脚注6)は、

n! / (n - k)! / k! × pk(1 - p)n-k

となる。Δtが小さいものとした場合、

n = 4, p = 0.65, u = 1.106, d = 0.905

により、1年分の格子の最終ノードのさまざまな価格に至る確率は次のとおりである。

k = 4, 確率 = 0.179
k = 3, 確率 = 0.384
k = 2, 確率 = 0.311
k = 1, 確率 = 0.111
k = 0, 確率 = 0.015

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