2.12

内部収益率をrとし、c=1/(1+r)とおくと、プロジェクト1に対して、次式が成り立つ。

-A₁ + B₁c + ... + B₁cⁿ = 0 (1)

プロジェクト2に対して、次式が成り立つ。

-A₂ + B₂c + ... + B₂cⁿ = 0 (2)

(2)の両辺をA₁/A₂倍すると、次式となる。

-A₁ + (A₁/A₂)B₂c + ... + (A₁/A₂)B₂cⁿ = 0 (3)

(1),(3)ともに左辺は、単調増加である。(∵ A₁, A₂, B₁, B₂ > 0) (4)
(1),(3)ともにc=0のとき、左辺は負である。(5)

(1)の左辺から(3)の左辺を引いたものをf(c)とおくと、

f(c)=∑(B₁-(A₁/A₂)B₂)cⁱ (i=1, 2, ... , n) (0 < c ≤ 1)

一方、与条件B₁/A₁ > B₂/A₂により、

(B₁-(A₁/A₂)B₂) > 0
∴ f(c) > 0 (6)

したがって、(4), (5), (6)から、

c₁ < c₂ (7)
となる。

(7)をr₁, r₂で表すと、

1/(1+r₁) < 1/(1+r₂)
1+r₂ < 1+r₁
∴ r₂ < r₁

よって、プロジェクト1がプロジェクト2よりも高い内部収益率となる。

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