2.14

想定金利を r と置く。
資産の価格を 100 ($)と仮定する。
減価償却率1 = (25%, 38%, 37%)
減価償却率2 = (100/3%, 100/3%, 100/3%)
減価償却率1のキャッシュフロー = (25, 38, 37)
減価償却率1のキャッシュフロー = (100/3, 100/3, 100/3)
減価償却率1の現在価値 PV₁ = 25 / (1 + r) + 38 / (1 + r)² + 37 / (1 + r)³
$${\mathit{PV}}_1=\frac{25}{(1+r)}+\frac{38}{{(1+r)}^2}+\frac{37}{{(1+r)}^3}$$ 減価償却率2の現在価値PV₂ = 100 / 3 / (1 + r) + 100 / 3 / (1 + r)² + 100 / 3 / (1 + r)³
$${\mathit{PV}}_2=\frac{100/3}{(1+r)}+\frac{100/3}{{(1+r)}^2}+\frac{100/3}{{(1+r)}^3}$$ $${\mathit{PV}}_2-{\mathit{PV}}_1=\frac{25/3}{(1+r)}-\frac{14/3}{{(1+r)}^2}-\frac{11/3}{{(1+r)}^3}$$ PV₂ - PV₁ ≥0, r ≥ 0
∴ 減価償却の現在価値を最大にしたい場合は、後者(PV₂)の方法が 望ましい。

PV₂ - PV₁の増減を Table 2.14 に示す。
ただし、d(PV₂ - PV₁)/dr = -25 / 3 / (1 + r)² + 28 / 3 / (1 + r)³ + 11 / (1 + r)⁴ (see below %o4)
d(PV₂-PV₁)/drの検算には、 Maxima, a Computer Algebra System 5.9.1 を用いた。

PV₂-PV₁のグラフをFig. 2.14に示す。作図には、 gnuplot version 4.0( Copyright (C) 1986 - 1993, 1998, 2004 Thomas Williams, Colin Kelley and many others)を用いた。

∴ 想定金利 r = 0.838 で後者と前者の減価償却の現在価値の差が最大となる。

図化コマンドを次のリンクに示す。(2011-10-26)

• Fig.2.14

Maxima

Maximaで上を解く様子を次に示す。(added on 2016-11-03.)

Maxima 5.38.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp SBCL 1.3.4
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) 25/(1+r)+38/(1+r)^2+37/(1+r)^3;
                           25        38         37
(%o1)                     ----- + -------- + --------
                          r + 1          2          3
                                  (r + 1)    (r + 1)
(%i2) 100/3/(1+r)+100/3/(1+r)^2+100/3/(1+r)^3;
                         100         100          100
(%o2)                 --------- + ---------- + ----------
                      3 (r + 1)            2            3
                                  3 (r + 1)    3 (r + 1)
(%i3) %o2-%o1;
                         25           14           11
(%o3)                 --------- - ---------- - ----------
                      3 (r + 1)            2            3
                                  3 (r + 1)    3 (r + 1)
(%i4) diff(%o3, r, 1);
                           25            28          11
(%o4)               (- ----------) + ---------- + --------
                                2             3          4
                       3 (r + 1)     3 (r + 1)    (r + 1)
(%i5) solve(%o4=0, r);
                        sqrt(1021) + 11      sqrt(1021) - 11
(%o5)            [r = - ---------------, r = ---------------]
                              25                   25
(%i6)

注
上のMaximaの出力は、「Commad line Maxima」の画面出力をコピーしたものである。 (ただし、OSは Windwos10 である。)
%i1他の入力行の最後の";"は、必要である。
%o1は、PV₁ である。
%o2は、PV₂ である。
%io3は、PV₂-PV₁ である。
%i4 は、%o3 を r で1回微分する。
%i5 は、%o4 = 0 を r について解く。

MathML

added on 2016-11-03.

MathMLの部分(italicの PV₁, PV₂, PV₂ - PV₁)は、 LibreOffice 5.2 の 「Math数式」 を用いた。

MathMLの作成方法
LibreOfficeの「Math数式」で数式を入力し、ファイルメニューの「名前を付けて保存」 で「ファイルの種類」を「MathML 2.0(.mml)(*.mml)」を選んで保存すると、 MathMLのファイルが作成される。ただし、Windows10の場合。
作成されたMathMLファイルから<math>タグで囲まれた部分をコピーして、 xhtmlファイルに貼り付けると、WEBブラウザに数式が綺麗に表示される。

For more information, see www.w3.org/Math/ .

history

2005-7-17、2005-7-24更新, revised on 2005-8-3, 2009-11-01, 2011-11-03, 2012-06-08, 2011-11-03, 2012-06-08.
2016-11-03 solution by Maxima added and mathematical expressions(PV₁ and so on) in mathml added.
2021-02-11 change to html5, utf-8. add viewport.
2021-02-14 move history.