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3.15

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ゼロクーポン債の価格Pは、対象書籍p.63の(3.1)式の第2項のCに0を代入した次式となる。

P = F / [1 + (λ/m)]n

\[ P = \frac{F}{(1 + \lambda/m)^n} \]

この式を以下のように連続複利に書き換える。

P = F / [1 + (λ/m)]mn/m
P = F / [1 + (λ/m)]mT
P= lim F / [1 + (λ/m)]mT=F/eλT (m → 0 ∞)

\begin{align} P &= \frac{F}{(1 + \lambda /m)^{mn / m}} \\ &= \frac{F}{(1 + \lambda /m)^{mT}} \end{align} \[ P = \lim_{m \to \infty} \frac{F}{(1 + \lambda /m)^{mT}}= \frac{F}{e^{\lambda T}} \]

この式をλで2回微分すると、

dP/dλ=-TP
d2P/dλ2=T2P

\begin{align} \frac{\mathrm{d}P} {\mathrm{d} \lambda} &= -T P \\ \frac{\mathrm{d^2}P}{\mathrm{d} \lambda^2} &= T^2 P \end{align}

この式をコンベキシティの式

C = (1/P)d2P/dλ2

\[ C=\frac{1}{P} \frac{\mathrm{d^2}P}{\mathrm{d} \lambda^2} \]

に代入すると、Cは次式となる。

∴ C=(1/P)T2P=T2

\[ C=\frac{1}{P} T^2 P = T^2 \]
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