6.4

株式1の重みを α、株式2の重みを(1 - α)と置くと、ポートフォリオの分散 v は、次式となる。
v = ∑w_iw_jσ_ij
= α²σ₁² + 2α(1 - α)σ₁₂ + (1 - α)²σ₂²
= α²(σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²) + α(2σ₁₂ - 2σ₂²) + σ₂²

vをαで微分すると、
dv/dα = 2α(σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²) + 2(σ₁₂ - σ₂²)

さらに、微分すると、
d²v/dα² = 2(σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²)

A, B を次のとおり置くと、
A = σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²
B = σ₁² - 2σ₁σ₂ + σ₂² = (σ₁ - σ₂)² ≥ 0
A - B = 2(σ₁σ₂ - σ₁₂) ≥ 0 (|σ₁₂| ≤ σ₁σ₂)
A ≥ B ≥ 0
∴ A ≥ 0
∴ d²v/dα² ≥ 0
ただし、等号は、σ₁ = σ₂, σ₁₂ = σ₁σ₂ の時に成立する。

dv/dα = 0 を満たすαは、次式となる。

α = (σ₂² - σ₁₂) / (σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²)

vの増減表は下表になる。ただし、σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂² ≠ 0

以上から、分散が最小となる投資割合は、次となる。

(株式1) (σ₂² - σ₁₂) / (σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²)
(株式2) 1 - (σ₂² - σ₁₂) / (σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²) = (σ₁² - σ₁₂) / (σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²)

このポートフォリオの収益率の期待値 E(r) は、次となる。

E(r) = E(r₁)(σ₂² - σ₁₂) / (σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²) + E(r₂)(σ₁² - σ₁₂) / (σ₁² - 2σ₁₂ + σ₂²)

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