7.5

市場平均ポートフォリオMは、効率的であるとする。
β_iの算出には、和訳テキストp.224の次式(7.3)を用いる。

β_i = σ_iM / σ_M²

Σσ_ikw_i = cov(r_k, r_M), (i=1,...,n) であり(同書p.246、4.のヒント)、 n種の資産は互いに相関がない、すなわちσ_ij = 0(i≠j) であることから、

σ_iM = cov(r_i, r_M) = Σx_iσ_ik = x_iσ_ii = x_iσ_i², (k=1,...,n)

ポートフォリオの分散σ²は σ² = Σw_iw_jσ_ij, (i,j=1,...,n) であるから(和訳テキストpp.189-190)、市場ポートフォリオの分散σ_M²は、

σ_M² = Σx_ix_jσ_ij = Σx_jx_jσ_jj = Σx_j²σ_j², (i,j=1,...,n)

である。よって、β_iは、

β_i = x_iσ_i² / Σx_j²σ_j², (j=1,...,n)

である。

次の数式の表示に MathJax を使用している。
数式を表示する場合は、JavaScript を許可する必要がある。
（Mは変数でないため、roman(立体)とした。）

\begin{align} \beta_i &= \frac{\sigma_{i\mathrm{M}}}{\sigma _\mathrm{M} ^2} \\ \sigma_{i\mathrm{M}} &=\mathrm{cov}(r_i, r_\mathrm{M}) = \sum_{k=1}^{n} x_i \sigma_{ik} = x_i \sigma_{ii} = x_i \sigma_i^2 \\ \sigma_\mathrm{M}^2 &=\sum_{i,j=1}^{n} x_i x_j \sigma_{ij} =\sum_{j=1}^{n} x_j x_j \sigma_{jj}=\sum_{j=1}^{n} x_j^2 \sigma_j^2 \\ \therefore \beta_i &= \frac{x_i \sigma_i^2} {\displaystyle\sum_{j=1}^{n} x_j^2 \sigma_j^2} \\ \end{align}

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2025-02-16 create.

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